Umkehrfunktion

  • Zeichne Graph Gf der Fkt f(x)= Wurzel 4-x² ; Df = [-2; 2] sowie die Tangente tp an Graphpunkt P (1| f(1))

    a) Begründen Sie das Gf ein Halbkreis ist

    b) Ermitteln Sie die Steigung der Tangente tp auf 2 verschiedene Arten

    c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks das von Tp und den beiden Koordinatenachsen berandet wird

    Problem/Ansatz: Ich hab ehrlich keine Ahnung wie ich überhaupt vorgehen soll und wie man die Aufgaben löst, da ich sowas in der Art noch nie gerechnet habe.

  • Schakon

    Hat das Thema freigeschaltet
  • zu a)


    Halbkreis heißt, dass alle Punkte auf dem Graphen vom Ursprung den gleichen Abstand haben (ein Radius existiert). Mehr noch, aufgrund des Definitionsbereiches (von -2 bis 2) und schnellem Nachrechnen dass f(-2) = f(2) = 0 ist folgt, dieser Radius kann nur = 2 sein.


    Das muss für alle Punkte im Definitionsbereich bewiesen werden, nicht nur für die beiden diskreten Ränder


    Da man nicht alle Punkt diskret durch Nachrechnen überprüfen kann, muss eine Gleichung aufgestellt werden:


    Aus dem Satz des Pythagoras folgt das die Hypotenuse c = sqrt( a^2 + b^2). Für alle Punkte des Graphen wird also überprüft, ob ihr Abstand (= Hypotenuse die aus den Katheten ihrer x und f(x) Werte gebildet werden, gleich groß und = 2 sind).


    sqrt( x^2 + (f(x))^2 ) = 2 muss bewiesen werden.


    eingesetzt:


    sqrt ( x^2 + (sqrt( 4 - x^2 ))^2 ) = 2 , die innere Wurzel gegen ihr direktes Quadrat neutralisieren

    sqrt ( x^2 + 4 - x^2 ) = 2 , x^2 gegeneinander rechnen => x fällt aus der Gleichung, d.h. ab hier stellt sich nur noch die Frage, ob wahr oder unwahr und nicht mehr, für welche Werte von x wahr oder unwahr.


    sqrt ( 4 ) = 2 , ist offensichtlich wahr


    => für alle Punkte in D ist der Abstand zum Ursprung = 2, damit insbesondere auch konstant und damit bilden diese Punkte einen Halbkreis mit Radius 2 um den Ursprung.


    Was sind die Voraussetzungen, die du hast, damit du das als Aufgabe gestellt bekommst ?

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