Wahrscheinlichkeitsaufgabe

  • Hi,


    was meint ihr zu folgender Aufgabe, wenn davon ausgegangen wird, dass die Wahrscheinlichkeit ob ein Kind ein Junge oder ein Mädchen jeweils bei 50% liegt.


    Eine Familie hat zwei Kinder. Eines der Kinder ist ein Junge. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat die Familie zwei Söhne?

  • Eben, dann wäre aber die Frage einfach gleichzusetzen mit "Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der zweite Sohn ein Junge".
    Quasi: P(M | M). Da hier eine stichhaltige Unabhängigkeit vorliegt ist P(M) = P(M | M) = P(M | W)


    Habe die Frage eher so interpriert: "Wie wahrscheinlich ist es, dass sie zwei Söhne haben", nicht "Wie wahrscheinlich ist es, dass sie zwei Söhne haben wenn sie bereits einen haben"

  • mMn. liegt stochastische Unabhängigkeit vor. Wenn man rein logisch denkt, hängt die Chance ein Mädchen oder einen Jungen zu bekommen in der Aufgabe ja nicht davon ab ob man bereits einen Jungen hatte oder nicht. Abgesehen davon wäre dann die Aufgabe mit den gegebenen Mitteln nicht zu lösen.

  • mMn. liegt stochastische Unabhängigkeit vor. Wenn man rein logisch denkt, hängt die Chance ein Mädchen oder einen Jungen zu bekommen in der Aufgabe ja nicht davon ab ob man bereits einen Jungen hatte oder nicht. Abgesehen davon wäre dann die Aufgabe mit den gegebenen Mitteln nicht zu lösen.

    Kann dem Ganzen so nur zustimmen, im Prinzip musst du den zweiten Zweig gar nicht beachten um die Aufgabenstellung zu lösen. Dieser Zweig erfüllt eher die Anforderung und Auflistungen aller Möglichkeiten und Wahrscheinlichkeiten.


    Gruß

  • Wie bewertest du folgende Lösung?


    Wie in deiner Modellierung sind die Möglichkeiten einer Familie mit zwei Kinder (M, M), (W, M), (M, W), (W, W), wobei jeweils das ältere Kind zuerst kommt. In einer Familie mit (W, M) ist das ältere Kind also eine Tochter, und das jüngere ein Sohn. Da Jungen und Mädchen nach Aufgabenstellung mit der selben Wahrscheinlichkeit auftreten, liegt Gleichverteilung vor, die Wahrscheinlichkeit für jeden Fall liegt also bei 1/4.


    Jetzt ist folgendes Ereignis gegeben: A = "eines der Kinder ist ein Junge" = {(M, M), (W, M), (M, W)}. Gefragt wird nach dem Ergebnis B = "beide Kinder sind Jungen" = {(M, M)} unter Bedingung von A.
    Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich also durch P(B|A) = P(A geschnitten B)/P(A) = P((M, M))/P((M, M), (M, W), (W, M)) = (1/4)/(3/4) = 1/3.
    Da zudem P(A geschnitten B) = 1/4 != 3/16 = P(A)*P(B), sind A und B stochastisch nicht unabhängig.


    Intuitiv finde ich die Lösung mit 1/2 und stochastischer Unabhängigkeit richtig. Ich glaube aber, dass Intuition hier täuscht.

  • Ich entschuldige mich für meinen Fauxpas. Natürlich ist es wie deine Rechnung besagt. Habe mir das gerade noch einmal deutlich gemacht.
    Die Wahrscheinlichkeit zum Ereignis, dass zwei Jungen geboren werden (B) ist natürlich höher, wenn man bereits weiß, dass das Ereignis, dass ein Junge bereits geboren wurde (A), bereits eingetreten ist.
    Dadurch kommt natürlich dann auch deine Rechnung zustande, die folglich richtig ist.
    A := Ein Junge wurde geboren
    B := Zwei Jungen wurden geboren


    P(A) = 3/4
    P(B) = 1/4


    P(B | A) = P(B geschnitten A) / P(A) = 1/4 / 3/4 = 1/3

  • Ist im Prinzip nicht schwer, man muss das Thema nur einmal verstanden haben, gibt auch gute Videos zur Stochastik/Statistik.


    Sass vor kurzem mit meinem Bruder an fast der gleichen Aufgabe, 1/3 oder 1/2 klingen pausibel, aber fnL hat das relativ clever gelöst und die Begründung leuchtet ein.

  • Das ist Stoff der gymnasialen Oberstufe, nennt sich Stochastik. Wird im Studium dann nochmal bei einigen Studiengängen relevant. Speziell bei der Informatik.
    Dort ist das zunächst mal Grundstoff für Mathe Vorlesungen. Wir hatten dann noch Informationstheorie, die grundlegend auf der Wahrscheinlichkeitsrechnung basiert.
    Dabei berechnet man Information. D.h. zum Beispiel wie viel Information im Text "Hallo Welt" steckt und wie man diese verlustfrei komprimieren kann.

  • Ich hatte die Aufgabe auch in der Schule, und finde es noch immer faszinierend, wie (die allermeisten) bei dieser scheinbar sehr einfachen Aufgabe intuitiv erst mal daneben liegen (mich eingeschlossen). Deswegen habe ich das Thema gemacht. :)


    Sobald man den Kindern aber in irgendeiner Form eine Reihenfolge gibt (das jüngere Kind, das Kind mit den meisten Haaren, ...), was scheinbar völlig ohne Belangen für die Aufgabe ist, verändert sich die Wahrscheinlichkeit zu 1/2.


    In irgendeinem alten Mathe Abitur war sogar die Musterlösung zu so einer ähnlichen Aufgabe sogar falsch.

  • Das ist die Crux in der gesamten Wahrscheinlichkeitsrechnung: Die Aufgaben sind ausführlich beschrieben, die Lösungen meist in einer Zeile hingeschrieben und auch nicht schwer zu rechnen. Das Problem liegt meist darin, die Aufgaben genau zu lesen und richtig zu interpretieren.


    In der Vektorrechnung ist es dann genau umgekehrt ^^

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